षट्कोणीय और तारा के आकार की रंगोलियों [देखिए आकृति $(i)$ और $(ii)$] को $1\,cm$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?

(B) दी गई आकृतियों में $1\,cm$ भुजा वाले कितने समबाहु त्रिभुज समा सकते हैं,यह ज्ञात करने के लिए हम आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और उसे एक छोटे समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल से विभाजित करेंगे।
$1$. $s = 5\,cm$ भुजा वाले नियमित षट्भुज के लिए:
क्षेत्रफल $= \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 25 = 37.5\sqrt{3} \approx 64.95\,cm^2$.
$1\,cm$ भुजा वाले प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = 0.25\sqrt{3} \approx 0.433\,cm^2$ है।
आकृति $(i)$ में त्रिभुजों की संख्या $= \frac{37.5\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 150$.
$2$. आकृति $(ii)$ में तारा के आकार की आकृति के लिए:
यह आकृति $5\,cm$ भुजा वाले केंद्रीय षट्भुज और उसकी भुजाओं पर जुड़े $5\,cm$ भुजा वाले $6$ समबाहु त्रिभुजों से बनी है।
कुल क्षेत्रफल $= \text{षट्भुज का क्षेत्रफल} + 6 \times (5\,cm \text{ भुजा वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल})$.
कुल क्षेत्रफल $= 37.5\sqrt{3} + 6 \times (6.25\sqrt{3}) = 37.5\sqrt{3} + 37.5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \approx 129.9\,cm^2$.
आकृति $(ii)$ में त्रिभुजों की संख्या $= \frac{75\sqrt{3}}{0.25\sqrt{3}} = 300$.
अतः,तारा के आकार की आकृति $(ii)$ में अधिक त्रिभुज हैं।